1.1 Overview of Hyperbolic Partial Differential Equations
목차
The One-Way WaveEquation
$$ u_t + au_x = 0 \label{1.1.1}\tag{1.1.1}$$ solution: (대입해보면 자명한 것이므로, 그냥 외워야 함) $$ u(t,x) = u_0 ( x - at) \tag{1.1.2}$$ \((t,x)\) plane에서 \(x-at\)가 상수로 유지되는 라인을 characteristics라고 부른다. \(a\)는 the speed of propagation along the characteristic.
One-way wave eq.1.1.1의 solution 1.1.2는 형태의 변형 없이 speed \(a\)로 진행하는 wave이다.
1.1.2는 미분가능성을 요하지 않는다.
$$ u_t + au_x + bu = f(t, x),\\u(0, x) = u_0(x), \tag{1.1.3} $$ $$ u(t,x) = u_0(x-at)e^{-bt} + \int_0^t f(s, x-a(t-s))e^{-b(t-s)} ds. \tag{1.1.4}$$ $$ u_t + au_x = f(t,x,u) \tag{1.1.5}$$
Systems of Hyperbolic Equations
Definition 1.1.1. 아래와 같은 form은 $$ u_t + Au_x + Bu = F(t, x) \tag{1.1.6}$$ \(A\)가 (real eigenvalue들로) diagonalizable하면 hyperbolic 이다.
\(PAP^{-1} = \left( \begin{matrix} a_1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & a_d \end{matrix} \right)=\Lambda\), \(w= Pu\)라 하면, \(B=0\)일 때 \( w_t + \Lambda w_x = PF(t,x) = \hat{F}(t,x) \) 이고, \(\Lambda\)가 diagonal이므로 1.1.1꼴의 식들을 얻는다. 따라서 solution도 1.1.2로 얻는다. \(B \ne 0\)일 때도, 미분되지 않은 term들만 coupled되고, propagation에는 영향이 없다. \(Bu\)는 growth, decay, oscillation에 영향을 준다.
Example 1.1.1
Consider a system $$ u_t + 2u_x + v_x = 0, \\ v_t + u_x + 2v_x = 0, $$ 두 식을 더하고 빼면 $$(u+v)_t + 3(u+v)_x = 0, \\(u-v)_t + (u-v)_x = 0 $$을 얻고, 이때 \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \)이다. 이 \(P\)자체가 더하고 뺀다는 뜻이다. 문제는 ‘더하고 빼면 된다’는 것, 즉 \(P\)를 어떻게 찾느냐하는 것.[1] \(u+v = w', u-v = w\)라고 할 때, 해는 $$ w'(t,x) = w'_0(x-3t), \\ w(t,x) = w_0(x-t) $$ \(\because P\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} P^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \)
Equations with Variable Coefficients
$$u_t + a(t,x)u_x = 0 \tag{1.1.7} $$ $$ \frac{d\tilde{u}}{dτ} = 0, \quad \tilde{u}(0, ξ) = u_0(ξ), \\ \frac{dx}{dτ} = a(τ, x), \quad x(0) = ξ. \tag{1.1.8}$$[2]
Example 1.1.2
$$u_t + xu_x = 0, \\ u(0, x) = \begin{cases} 1 \quad \text{if}\ 0 \le x \le 1, \\ 0 \quad \text{otherwise.} \end{cases}$$ 1.1.8에 따라 $$ \frac{d\tilde{u}}{dτ} = 0, \quad \frac{dx}{dτ} = x, \quad x(0) = ξ. $$ \(x\)에 관한 식을 풀면 \(x(τ)=ce^τ\), \(x(0)=ξ\)이므로, \(x(τ) = ξe^τ\). 즉, \(ξ = xe^{-t}\)
\(\hat{u}\)는 \(τ\)에 독립이므로 \(τ=0\)일 때 조건이 \(t>0\)일 때 모두에 적용된다. $$\hat{u}(τ, ξ) = u_0(ξ) = u_0(xe^{-t}).$$ 즉, \(t>0\)일 때, $$ u(t,x) = \begin{cases} 1 & \text{if } 0 \le x \le e^t , \\ 0 & \text{otherwise. □} \end{cases}$$
Systems with Variable Coefficients
Definition 1.1.2. The system $$ u_t + A(t, x)u_x + b(t,x)u = F(t,x) \tag{1.1.10} $$ with $$ u(0,x) = u_0(x)$$
is hyperbolic iff \(A\) is diagonalizable.
- ↑ How to diagonalize a matrix 그냥 eigenvector를 column vector로 하는 P를 만들면 된다. eigenvector의 순서는 상관없음. 따라서 full rank여야 한다.
- ↑ \(u(t, x)\)와 \(\hat{u}(τ, ξ)\)는 같은 것이다. 식 (1.1.7)의 양변을 \(τ\)에 관해 미분하면 두번째 항이 상수항으로 없어지기 때문에 \(\frac{\partial \hat{u}}{\partial τ} = 0\)이다.