1.6 The Courant-Fridrichs-Lewy Condition
For an explicit[1] scheme for the hyperbolic equation(\( v^+ = αv_{-} + βv+ γv_{+} \)), stability의 필요조건은 Courant-Friedrichs-Lewy(CFL) condition, $$|aλ| \le 1.$$이다. \(v\)가 vector이고 \(α, β, γ\)가 행렬로 주어지는 system에서는 \(a\)의 모든 eigenvalue에 대해 \(|a_i λ| \le 1\)이 성립해야 한다.
analytic solution은 \(-|a|\)에서 시작인데 scheme상 \(\frac{1}{λ}\) 이내의 범위를 요구하므로 \(|\frac{1}{λ}| \ge |a|\), 즉 \(|aλ| \le 1\)이어야 한다는 이야기. Convergent가 아니면 unstable하므로, convergent를 보여서 stability의 필요조건. 책에 나온 표현대로 하자면,
numerical speed of propagation must be greater than or equal to the speed of propagation
implicit scheme중에는 모든 \(λ\)에 대해 consistent & stable한 scheme(BTCS, BTBS)이 있다.
Example 1.6.1. BTBS가 \(a > 0 , λ > 0 \)에서 항상 stable함을 보인다.
$$ \frac{v^+ - v}{k} + a\frac{v^+ - v^+_-}{h} = 0 \tag{1.6.1}$$[2]
다시 쓰면, $$ (1+aλ)v^+ = v + aλv_-^+ $$ 양변 제곱하면, $$\begin{align*} (1+aλ)^2 |v^+|^2 \le & |v|^2 + 2aλ|v||v^+_-| + (aλ)^2|v^+_-|^2 \\
\le & |v|^2 + aλ|v|^2 + aλ|v^+_-|^2 + (aλ)^2|v^+_-|^2 \\
\le & (1+aλ)|v|^2 + (aλ + (aλ)^2)|v^+_-|^2
\end{align*}
$$
좌우변에 \(\displaystyle\sum_{m=-\infty}^{\infty}\)하면 위 식의 맨 오른쪽 항이 \((aλ + (aλ)^2)|v^+|^2\)가 된다. \(\sum\)해버리면 space의 shift위치가 무의미해지기 때문이다. 그 항을 좌변으로 넘기고 정리.
\(1+aλ=k\)라 하면 위 부등식은
$$ \begin{align*}
k^2\sum|v^+|^2 \le & k\sum|v|^2 + aλk\sum |v^+|^2 , \\
k(k-aλ)\sum|v^+|^2 \le & k\sum|v|^2 \\
\sum|v^+|^2 \le & \sum|v|^2 \quad(\because k-aλ=1)\\
\end{align*}$$
\(a\)나 \(λ\)에 상관없이 stable. □
\(|aλ|\)를 작게 하면 좋다고 한다. (간격보다) 시간이 촘촘하면 좋다는 얘기. 직관에 반하는 듯 하니 눈여겨 둘것.