Toeplitz matrix

\( \begin{bmatrix} a & b & c & d & e \\ f & a & b & c & d \\ g & f & a & b & c \\ h & g & f & a & b \\ i & h & g & f & a \end{bmatrix} \)

꼭 square가 아니어도 된다.

\(n \times n\)일 때, \(Ax=b\) system의 자유도가 \(2n-1\)이다. \(n^2\)가 아니고.

convolution이 이 행렬의 곱으로 표현될 수 있다.

\( y = h \ast x = \begin{bmatrix} h_1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ h_2 & h_1 & \ldots & \vdots & \vdots \\ h_3 & h_2 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & h_3 & \ldots & h_1 & 0 \\ h_{m-1} & \vdots & \ldots & h_2 & h_1 \\ h_m & h_{m-1} & \vdots & \vdots & h_2 \\ 0 & h_m & \ldots & h_{m-2} & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & h_{m-1} & h_{m-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & h_m & h_{m-1} \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & h_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \)

autocorrelation, cross-correlation, moving average등으로도 확장 가능하다.

Levinson recursion으로 푼다