0823 proof 문서 원본 보기

수열 \((1+\frac{1}{n})^n\)의 최댓값(\(e\)) 생각하다가 이게 단조증가인가 궁금해서 찾아봤는데 [https://math.stackexchange.com/a/167869/64186 여기]의 답글중에 좋은게 있어서 퍼둠. 

$$
\frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^n}=\left(1+\frac1n\right)\,\color{ indianred}{\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\ge} \left(1+\frac1n\right)\,\color{ indianred}{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)}=1
$$

더불어, 위 식은 \(n \to 0\)일 때 \(1\)인데, 이유는 다음과 같다. 
$$
\frac{\overbrace{1 + 1 + \cdots + 1}^{x-2 \,\text{times}}+ \sqrt{1+x} + \sqrt{1+x}}{x} \ge (1 + x)^\frac1x \ge 1 \\
\underbrace{ 1 - \frac{2}x + \frac{2\sqrt{1+x}}x}_{(1)}  \ge (1 + x)^\frac1x \ge 1
$$
when \(x\) goes to \(\infty\), eq (1) goes to \(1\). □

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