도박꾼의 파산 문제 해설 - 편집 역사

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2017-07-26T18:04:09Z

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2017-06-27T08:27:23Z

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@@ 60번째 줄: / 60번째 줄: @@
 \end{equation}
 $$
-실제로 계산해보면 (1)에서 구한 답과 (기가막히게) 일치한다. \(p+q=1\)임을 이용하면 결국 같은 모양을 이끌어 낼 수 있다. 물론 (3)에서는 \(p=q\) 를 따로 처리해줄 필요가 없다.
+실제로 계산해보면 (1)에서 구한 답과 일치한다. \(p+q=1\)임을 이용하면 결국 같은 모양을 이끌어 낼 수 있다. 물론 (3)에서는 \(p=q\) 를 따로 처리해줄 필요가 없다.
 P(m, 5)를 (3)과 같이 써보면 왼쪽 행렬은 다음과 같고 이런식으로 일반화 하는 것은 어렵지 않다.

@@ 25번째 줄: / 25번째 줄: @@
 모든 수에 대해 아래와 같은 식이다. (검은 점이 fixed point)
-[[파일:Mathview book ch1.png|500px]]
+[[파일:Mathview book ch1.png]]
 따라서 해가 존재하고 유일하다. 그러므로 위에서 구한 해(equation(2))가 답이다.

@@ 78번째 줄: / 78번째 줄: @@
 인데 여기서 \(p = 1/2\)이라면, \(a_n = C_1 + C_2\)가 되어 모든 \(m\)에 대해 P가 동일하다는 말이다. 실제로는 그렇지 않다.(기대되는 결과는 등차수열이다)<br>
 어디서 계산이 틀린건지, 점화식을 잘못 푼건지 잘 모르겠다. 무한하지 않은 수열에 대해서 무한하다는 가정을 놓고 점화식을 넣어 그런건가 싶기도 하고.
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@@ 76번째 줄: / 76번째 줄: @@
 $$
 a_n = C_1 \left( \frac{1 + |1 - 2p|}{2p} \right) ^n + C_2 \left( \frac{1 - |1-2p|}{2p} \right) ^n $$
-인데 여기서 \(p = 1/2\)이라면, \(a_n = C_1 + C_2\)가 되어 모든 \(n\)에 대해 P가 동일하다는 말이다. 실제로는 그렇지 않다.<br>
+인데 여기서 \(p = 1/2\)이라면, \(a_n = C_1 + C_2\)가 되어 모든 \(m\)에 대해 P가 동일하다는 말이다. 실제로는 그렇지 않다.(기대되는 결과는 등차수열이다)<br>
 어디서 계산이 틀린건지, 점화식을 잘못 푼건지 잘 모르겠다. 무한하지 않은 수열에 대해서 무한하다는 가정을 놓고 점화식을 넣어 그런건가 싶기도 하고.
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 \end{equation}
 $$
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31번째 줄:		31번째 줄:
	단, (2)에서 \(\displaystyle p=q=\frac{1}{2}\) 이면, 분모가 0이므로, \(p=q\) 인 경우는 따로 정해주어야 한다. \(\displaystyle P(m,N) = \frac{m}{N} \)이다.		단, (2)에서 \(\displaystyle p=q=\frac{1}{2}\) 이면, 분모가 0이므로, \(p=q\) 인 경우는 따로 정해주어야 한다. \(\displaystyle P(m,N) = \frac{m}{N} \)이다.

−	위의 그림을 보면 \(p=q\) 일 때는, 가운데 항이 앞과 뒤 항의 산술평균일테니 \(m/N\)임을 쉽게 알 수 있다. 직관적으로, 이기고 질 확률이 같다면 ‘결국’이길 확률은 승점과 패점의 거리 비율이다.	+	위의 그림을 보면 \(p=q\) 일 때는, 가운데 항이 앞과 뒤 항의 산술평균일테니 \(m/N\)임을 쉽게 알 수 있다. <br>
		+	직관적으로, 이기고 질 확률이 같다면 ‘결국’이길 확률은 승점과 패점의 거리 비율이다.

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	단, (2)에서 \(\displaystyle p=q=\frac{1}{2}\) 이면, 분모가 0이므로, \(p=q\) 인 경우는 따로 정해주어야 한다. \(\displaystyle P(m,N) = \frac{m}{N} \)이다.		단, (2)에서 \(\displaystyle p=q=\frac{1}{2}\) 이면, 분모가 0이므로, \(p=q\) 인 경우는 따로 정해주어야 한다. \(\displaystyle P(m,N) = \frac{m}{N} \)이다.
		+
		+	위의 그림을 보면 \(p=q\) 일 때는, 가운데 항이 앞과 뒤 항의 산술평균일테니 \(m/N\)임을 쉽게 알 수 있다. 직관적으로, 이기고 질 확률이 같다면 ‘결국’이길 확률은 승점과 패점의 거리 비율이다.

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 예를들어 P(N-1, N)을 보면, 하나 없는 상태에서 시작하므로 q*P(N-2, N) + p 가 된다. 여기서 p는 (N-1개를 가진 상태에서) 그냥 이길 확률이다. <br>
 P(N,N)의 경우는 그러니까 게임이 성립하지 않는 상태인데(P(0,N)도 마찬가지.) 아마도 저렇게 놓고 풀면 앞뒤가 잘 맞으니 그렇게 정의한 것으로 보인다. 따라서,<br>
 실제로 문제를 풀 때는, P(1,N)부터 P(N-1,N)까지를 구해야 하는거 아닌가 싶다. 그러고서 이로부터 P(0,N)과 P(N,N)을 유추할 수 있으면 좋은거고.<br>
 다행히 연립방정식을 얻는 과정은 동일해서 위 세 조건을 만족하는 P(m,N)을 구할 수 있다. 대신 계산이 아주아주아주 복잡하다. {{c|-_-}}<br>

@@ 40번째 줄: / 40번째 줄: @@
 위 식대로 하면 이론값이 0.072973 나오는데, 약 2천회만 시행해도 정확히 동일한 값으로 수렴한다.
+예를들어 N=4일 경우, (아래 식에서는 모두 N을 생략. 즉 P(1) = P(1,4)이다)
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