0823 proof - 편집 역사

2018년 2월 5일 (월) 13:54에 Admin님의 편집

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2017년 8월 22일 (화) 15:10에 Admin님의 편집

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Admin: 새 문서: 해당 수열의 최대값($e$) 생각하다가 이게 단조증가인가 궁금해서 찾아봤는데 [https://math.stackexchange.com/a/167869/64186 여기]의 답글중에 좋은...

2017-08-22T15:08:07Z

새 문서: 해당 수열의 최대값($e$) 생각하다가 이게 단조증가인가 궁금해서 찾아봤는데 [https://math.stackexchange.com/a/167869/64186 여기]의 답글중에 좋은...

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해당 수열의 최대값($e$) 생각하다가 이게 단조증가인가 궁금해서 찾아봤는데 [https://math.stackexchange.com/a/167869/64186 여기]의 답글중에 좋은게 있어서 퍼둠.

$$
\frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^n}=\left(1+\frac1n\right)\,\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\ge \left(1+\frac1n\right)\,\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1
$$

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−	수열 \((1+\frac{1}{n})^n\)의 ~~최대값~~(\(e\)) 생각하다가 이게 단조증가인가 궁금해서 찾아봤는데 [https://math.stackexchange.com/a/167869/64186 여기]의 답글중에 좋은게 있어서 퍼둠.	+	수열 \((1+\frac{1}{n})^n\)의 최댓값(\(e\)) 생각하다가 이게 단조증가인가 궁금해서 찾아봤는데 [https://math.stackexchange.com/a/167869/64186 여기]의 답글중에 좋은게 있어서 퍼둠.

	$$		$$

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	$$		$$
	when \(x\) goes to \(\infty\), eq (1) goes to \(1\). □		when \(x\) goes to \(\infty\), eq (1) goes to \(1\). □
		+
		+	<disqus/>

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	\frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^n}=\left(1+\frac1n\right)\,\color{ indianred}{\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\ge} \left(1+\frac1n\right)\,\color{ indianred}{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)}=1		\frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^n}=\left(1+\frac1n\right)\,\color{ indianred}{\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\ge} \left(1+\frac1n\right)\,\color{ indianred}{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)}=1
	$$		$$
		+
		+	더불어, 위 식은 \(n \to 0\)일 때 \(1\)인데, 이유는 다음과 같다.
		+	$$
		+	\frac{\overbrace{1 + 1 + \cdots + 1}^{x-2 \,\text{times}}+ \sqrt{1+x} + \sqrt{1+x}}{x} \ge (1 + x)^\frac1x \ge 1 \\
		+	\underbrace{ 1 - \frac{2}x + \frac{2\sqrt{1+x}}x}_{(1)} \ge (1 + x)^\frac1x \ge 1
		+	$$
		+	when \(x\) goes to \(\infty\), eq (1) goes to \(1\). □

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 $$
-\frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^n}=\left(1+\frac1n\right)\,\color{ indianred}{\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\ge} \left(1+\frac1n\right)\,\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1
+\frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^n}=\left(1+\frac1n\right)\,\color{ indianred}{\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\ge} \left(1+\frac1n\right)\,\color{ indianred}{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)}=1
 $$

@@ 2번째 줄: / 2번째 줄: @@
 $$
-\frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^n}=\left(1+\frac1n\right)\,\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\ge \left(1+\frac1n\right)\,\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1
+\frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^n}=\left(1+\frac1n\right)\,\color{ indianred}{\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\ge} \left(1+\frac1n\right)\,\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1
 $$

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-해당 수열의 최대값(\(e\)) 생각하다가 이게 단조증가인가 궁금해서 찾아봤는데 [https://math.stackexchange.com/a/167869/64186 여기]의 답글중에 좋은게 있어서 퍼둠.
+수열 \((1+\frac{1}{n})^n\)의 최대값(\(e\)) 생각하다가 이게 단조증가인가 궁금해서 찾아봤는데 [https://math.stackexchange.com/a/167869/64186 여기]의 답글중에 좋은게 있어서 퍼둠.
 $$
 \frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^n}=\left(1+\frac1n\right)\,\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\ge \left(1+\frac1n\right)\,\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1
 $$

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