1.1 Overview of Hyperbolic Partial Differential Equations - 편집 역사

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2017-08-21T07:59:24Z

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2017년 8월 21일 (월) 07:59에 Admin님의 편집

2017-08-21T07:59:11Z

Admin: /* Equations with Variable Coefficients */

2017-08-21T07:54:46Z

Equations with Variable Coefficients

Admin: /* Systems with Variable Coefficients */

2017-08-21T07:53:17Z

Systems with Variable Coefficients

Admin: /* Equations with Variable Coefficients */

2017-08-21T07:50:31Z

Equations with Variable Coefficients

Admin: /* Equations with Variable Coefficients */

2017-08-21T07:39:30Z

Equations with Variable Coefficients

Admin: /* Systems of Hyperbolic Equations */

2017-08-18T08:44:02Z

Systems of Hyperbolic Equations

2017년 8월 18일 (금) 08:42에 Admin님의 편집

2017-08-18T08:42:56Z

Admin: /* Systems of Hyperbolic Equations */

2017-08-18T08:41:57Z

Systems of Hyperbolic Equations

Admin: /* Overview of Hyperbolic Partial Differential Equations */

2017-08-17T17:41:51Z

Overview of Hyperbolic Partial Differential Equations

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1번째 줄:		1번째 줄:
−	~~<html><style>h2, h3, h4 {margin:0px}</style></html>~~
−	The important concepts of convergence, consistency, and stability are presented and shown to be related by the Lax-Richtmyer equivalence theorem. The chapter concludes with a discussion of the Courant-Friedrichs-Lewy condition and related topics.

−	~~=1.1 Overview of Hyperbolic Partial Differential Equations=~~
	==The One-Way WaveEquation==		==The One-Way WaveEquation==
	$$ u_t + au_x = 0 \label{1.1.1}\tag{1.1.1}$$		$$ u_t + au_x = 0 \label{1.1.1}\tag{1.1.1}$$

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57번째 줄:		57번째 줄:
	$$ u(0,x) = u_0(x)$$		$$ u(0,x) = u_0(x)$$
	is hyperbolic iff \(A\) is diagonalizable.		is hyperbolic iff \(A\) is diagonalizable.
−
−	~~==Equations with Variable Coefficients==~~

← 이전 판		2017년 8월 21일 (월) 07:53 판
52번째 줄:		52번째 줄:

	==Systems with Variable Coefficients==		==Systems with Variable Coefficients==
		+	<b>Definition 1.1.2.</b> The system
		+	$$ u_t + A(t, x)u_x + b(t,x)u = F(t,x) \tag{1.1.10} $$
		+	with
		+	$$ u(0,x) = u_0(x)$$
		+	is hyperbolic iff \(A\) is diagonalizable.
		+
		+	==Equations with Variable Coefficients==

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43번째 줄:		43번째 줄:
	1.1.8에 따라		1.1.8에 따라
	$$ \frac{d\tilde{u}}{dτ} = 0, \quad \frac{dx}{dτ} = x, \quad x(0) = ξ. $$		$$ \frac{d\tilde{u}}{dτ} = 0, \quad \frac{dx}{dτ} = x, \quad x(0) = ξ. $$
		+	\(x\)에 관한 식을 풀면 \(x(τ)=ce^τ\), \(x(0)=ξ\)이므로, \(x(τ) = ξe^τ\). 즉, \(ξ = xe^{-t}\)
		+
		+	\(\hat{u}\)는 \(τ\)에 독립이므로 \(τ=0\)일 때 조건이 \(t>0\)일 때 모두에 적용된다.
		+	$$\hat{u}(τ, ξ) = u_0(ξ) = u_0(xe^{-t}).$$
		+	즉, \(t>0\)일 때,
		+	$$ u(t,x) = \begin{cases} 1 & \text{if } 0 \le x \le e^t , \\ 0 & \text{otherwise. □} \end{cases}$$
		+
		+
		+	==Systems with Variable Coefficients==

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 $$u_t + a(t,x)u_x = 0 \tag{1.1.7} $$
 $$ \frac{d\tilde{u}}{dτ} = 0, \quad \tilde{u}(0, ξ) = u_0(ξ), \\
-\frac{dx}{dτ} = a(τ, x), \quad x(0) = ξ. \tag{1.1.8}$$
+\frac{dx}{dτ} = a(τ, x), \quad x(0) = ξ. \tag{1.1.8}$$<ref name=1.1.8> \(u(t, x)\)와 \(\hat{u}(τ, ξ)\)는 같은 것이다. 식 (1.1.7)의 양변을 \(τ\)에 관해 미분하면 두번째 항이 상수항으로 없어지기 때문에 \(\frac{\partial \hat{u}}{\partial τ} = 0\)이다. </ref>
 <b>Example 1.1.2</b>
-$$u_t = xu_x = 0, \\ u(0, x) = \begin{cases} 1 \quad \text{if}\ 0 \le x \le 1, \\ 0 \quad \text{otherwise.} \end{cases}$$
+$$u_t + xu_x = 0, \\ u(0, x) = \begin{cases} 1 \quad \text{if}\ 0 \le x \le 1, \\ 0 \quad \text{otherwise.} \end{cases}$$
 .1.8에 따라
 $$ \frac{d\tilde{u}}{dτ} = 0, \quad \frac{dx}{dτ} = x, \quad x(0) = ξ. $$

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(차이 없음)

@@ 29번째 줄: / 29번째 줄: @@
 Consider a system $$ u_t + 2u_x + v_x = 0, \\ v_t + u_x + 2v_x = 0, $$
-두 식을 더하고 빼면 $$(u+v)_t + 3(u+v)_x = 0, \\(u-v)_t + (u-v)_x = 0 $$을 얻고, 이때 \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \)이다. <gray>이 \(P\)자체가 더하고 뺀다는 뜻이다. 문제는 ‘더하고 빼면 된다’는 것, 즉 \(P\)를 어떻게 찾느냐하는 것.</gray><ref>[https://en.m.wikipedia.org/wiki/Diagonalizable_matrix#How_to_diagonalize_a_matrix How to diagonalize a matrix] 그냥 eigenvectors를 column vector로 P만들면 된다. eigenvector의 순서는 상관없음. </ref> \(u+v = w', u-v = w''\)라고 할 때, 해는 $$ w'(t,x) = w'_0(x-3t), \\ w''(t,x) = w''_0(x-t) $$
+두 식을 더하고 빼면 $$(u+v)_t + 3(u+v)_x = 0, \\(u-v)_t + (u-v)_x = 0 $$을 얻고, 이때 \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \)이다. <gray>이 \(P\)자체가 더하고 뺀다는 뜻이다. 문제는 ‘더하고 빼면 된다’는 것, 즉 \(P\)를 어떻게 찾느냐하는 것.</gray><ref>[https://en.m.wikipedia.org/wiki/Diagonalizable_matrix#How_to_diagonalize_a_matrix How to diagonalize a matrix] 그냥 eigenvector를 column vector로 하는 P를 만들면 된다. eigenvector의 순서는 상관없음. 따라서 full rank여야 한다.</ref> \(u+v = w', u-v = w''\)라고 할 때, 해는 $$ w'(t,x) = w'_0(x-3t), \\ w''(t,x) = w''_0(x-t) $$
 \(\because P\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} P^{-1}  = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \)

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 The important concepts of convergence, consistency, and stability are presented and shown to be related by the Lax-Richtmyer equivalence theorem. The chapter concludes with a discussion of the Courant-Friedrichs-Lewy condition and related topics.
-=Overview of Hyperbolic Partial Differential Equations=
+=1.1 Overview of Hyperbolic Partial Differential Equations=
 ==The One-Way WaveEquation==
 $$  u_t + au_x = 0 \label{1.1.1}\tag{1.1.1}$$