Admin: 새 문서: $$ u_t + au_x = 0 \quad \text{with} \quad 0 \le x \le 1, t \ge 0. \tag{1.2.1} $$ i.c: $u(0,x) = u_0(x)$, b.c: $u(t, 0) = g(t)$, then the solution is given by $$ u(t, x ) = \begin{...

2017-08-21T08:44:31Z

새 문서: $$ u_t + au_x = 0 \quad \text{with} \quad 0 \le x \le 1, t \ge 0. \tag{1.2.1} $$ i.c: $u(0,x) = u_0(x)$, b.c: $u(t, 0) = g(t)$, then the solution is given by $$ u(t, x ) = \begin{...

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$$
u_t + au_x = 0 \quad \text{with} \quad 0 \le x \le 1, t \ge 0. \tag{1.2.1} $$
i.c: $u(0,x) = u_0(x)$, b.c: $u(t, 0) = g(t)$, then the solution is given by
$$ u(t, x ) = \begin{cases} u_0(x - at) & \text{if } x - at > 0, \\ g(t - a^{-1}x) & \text{if } x - at < 0 . \end{cases}$$

Hyperbolic system이 다음과 같을 때,
$$\pmatrix{u1 \\ u2 }_t + \pmatrix{a & b \\ b & a } \pmatrix{u1 \\ u2 }_x = 0$$
eigenvalue는 $ a+b, a-b$. 다음으로 변형해서 문제를 풀 수 있다.
$$
\pmatrix{ u1 + u2 \\ u1 - u2 }_t + \pmatrix{ a+b & 0 \\ 0 & a-b }\pmatrix{u1 + u2 \\ u1 - u2 }_x = 0 $$
$u1+u2 @ x=0, u1-u2 @ x=1$를 정하면 답이 유일하게 정해지지만 다음과 같은 형태여도 된다.
$$
u1 + u2 = α_0(u1 - u2) + β_0(t) \quad @ x = 0, \\
u1 - u2 = α_1(u1 + u2) + β_1(t) \quad @ x = 1, \tag{1.2.4}
$$
위 형태로 변형 가능할때만 well-posed이다. $0 < a < b $일 때, ($1.2.4$)의 $x$의 위치($0$ 혹은 $1$)가 바뀌면 안된다. 아래 그림에서 보듯 characteristic의 방향이 반대이기 때문이다.

[[file:fig13.png]]

<b>Example 1.2.1</b>

$$\pmatrix{ u1 \\ u2}_t + \pmatrix{\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} &\frac{1}{2} }\pmatrix{u1 \\ u2 }_x = 0 \tag{1.2.5}$$
on the interval [0, 1] with i.c: $u1(0, x) = 0$ and $u2(0, x) = x$.

1.2.5의 eigenvalue가 $2, -1$<ref>eigenvalue가 양수이면 오른쪽으로 $t$에 따라 이동하고, characteristic도 우상향이다. $u(x-at)$처럼 식에서는 음수로 나타남. 음수면 그 반대</ref>이므로 양쪽 끝에서 bc가 주어져야 한다. 다음으로 정함.
$$ u1(t, 0) = t \quad u2(t,1) = 0$$

[[file:fig14.png]]

1.2 Boundary Conditions - 편집 역사

Admin: 새 문서: $$ u_t + au_x = 0 \quad \text{with} \quad 0 \le x \le 1, t \ge 0. \tag{1.2.1} $$ i.c: \(u(0,x) = u_0(x)\), b.c: \(u(t, 0) = g(t)\), then the solution is given by $$ u(t, x ) = \begin{...