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For an explicit<ref>미래의 시간에도 의존하면 implicit</ref> scheme for the hyperbolic equation($ v^+ = αv_{-} + βv+ γv_{+} $), stability의 필요조건은 Courant-Friedrichs-Lewy(CFL) condition, $$|aλ| \le 1.$$이다.
$v$가 vector이고 $α, β, γ$가 행렬로 주어지는 system에서는 $a$의 모든 eigenvalue에 대해 $|a_i λ| \le 1$이 성립해야 한다.

[[file:fig112.png]]

analytic solution은 $-|a|$에서 시작인데 scheme상 $\frac{1}{λ}$ 이내의 범위를 요구하므로 $|\frac{1}{λ}| \ge |a|$, 즉 $|aλ| \le 1$이어야 한다는 이야기. <gray>Convergent가 아니면 unstable하므로, convergent를 보여서 stability의 필요조건.</gray> 책에 나온 표현대로 하자면,
<blockquote>numerical speed of propagation must be greater than or equal to the speed of propagation</blockquote>
implicit scheme중에는 모든 $λ$에 대해 consistent & stable한 scheme(BTCS, BTBS)이 있다.

Example 1.6.1. BTBS가 $a > 0 , λ > 0 $에서 항상 stable함을 보인다.

$$ \frac{v^+ - v}{k} + a\frac{v^+ - v^+_-}{h} = 0 \tag{1.6.1}$$<ref>아래 FTBS와 비교해보라$$ \frac{v^+ - v}{k} + a\frac{v - v_-}{h}=0 $$</ref>

다시 쓰면,
$$ (1+aλ)v^+ = v + aλv_-^+ $$
양변 제곱하면,
$$\begin{align*}
(1+aλ)^2 |v^+|^2 \le & |v|^2 + 2aλ|v||v^+_-| + (aλ)^2|v^+_-|^2 \\
\le & |v|^2 + aλ|v|^2 + aλ|v^+_-|^2 + (aλ)^2|v^+_-|^2 \\
\le & (1+aλ)|v|^2 + (aλ + (aλ)^2)|v^+_-|^2
\end{align*}
$$
좌우변에 $\displaystyle\sum_{m=-\infty}^{\infty}$하면 위 식의 맨 오른쪽 항이 $(aλ + (aλ)^2)|v^+|^2$가 된다. $\sum$해버리면 space의 shift위치가 무의미해지기 때문이다. 그 항을 좌변으로 넘기고 정리. 
$1+aλ=k$라 하면 위 부등식은
$$ \begin{align*}
k^2\sum|v^+|^2 \le & k\sum|v|^2 + aλk\sum |v^+|^2 , \\
k(k-aλ)\sum|v^+|^2 \le & k\sum|v|^2 \\
\sum|v^+|^2 \le & \sum|v|^2 \quad(\because k-aλ=1)\\
\end{align*}$$
$a$나 $λ$에 상관없이 stable. □

$|aλ|$를 작게 하면 좋다고 한다. <gray>(간격보다) 시간이 촘촘하면 좋다는 얘기. 직관에 반하는 듯 하니 눈여겨 둘것.</gray>

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	\(\|aλ\|\)를 작게 하면 좋다고 한다. <gray>(간격보다) 시간이 촘촘하면 좋다는 얘기. 직관에 반하는 듯 하니 눈여겨 둘것.</gray>		\(\|aλ\|\)를 작게 하면 좋다고 한다. <gray>(간격보다) 시간이 촘촘하면 좋다는 얘기. 직관에 반하는 듯 하니 눈여겨 둘것.</gray>

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	\(\|aλ\|\)를 작게 하면 좋다고 한다. <gray>(간격보다) 시간이 촘촘하면 좋다는 얘기. 직관에 반하는 듯 하니 눈여겨 둘것.</gray>		\(\|aλ\|\)를 작게 하면 좋다고 한다. <gray>(간격보다) 시간이 촘촘하면 좋다는 얘기. 직관에 반하는 듯 하니 눈여겨 둘것.</gray>
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1.6 The Courant-Fridrichs-Lewy Condition - 편집 역사

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