Dirichlet distribution - 편집 역사

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 \(\operatorname {Dir} ({\boldsymbol {\alpha }})\) is a family of continuous multivariate probability distributions parameterized by a vector \(\boldsymbol {\alpha }\) of positive reals.
-\(\alpha\)가 vector가 아니면 \(\alpha_i\)가 모두 같다는 뜻인데, 이런건 '''symmetric Dirichlet distribution'''이라고 하고[https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution#Special_cases], 이 때 \(\alpha\)를 concentration parameter라고 한다. concentration parameter = 1이면, open standard K-1 simplex에서 uniform distribution이 되는데, 이를 '''flat Dirichlet distribution'''이라고 부른다. Values of the concentration parameter above 1 prefer variates that are dense, evenly distributed distributions, i.e. all the values within a single sample are similar to each other. Values of the concentration parameter '''below 1 prefer sparse distributions''', i.e. most of the values within a single sample will be close to 0, and the vast majority of the mass will be concentrated in a few of the values.
+\(\alpha\)가 vector가 아니면 \(\alpha_i\)가 모두 같다는 뜻인데, 이런건 '''symmetric Dirichlet distribution'''이라고 하고[https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution#Special_cases], 이 때 \(\alpha\)를 concentration parameter라고 한다. concentration parameter = 1이면, open standard K-1 [[simplex]]에서 uniform distribution이 되는데, 이를 '''flat Dirichlet distribution'''이라고 부른다. Values of the concentration parameter above 1 prefer variates that are dense, evenly distributed distributions, i.e. all the values within a single sample are similar to each other. Values of the concentration parameter '''below 1 prefer sparse distributions''', i.e. most of the values within a single sample will be close to 0, and the vast majority of the mass will be concentrated in a few of the values.
 probability density function \(f\),
 \(\displaystyle f\left(x_{1},\ldots ,x_{K-1};\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}\right)={\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1},\) where \(\displaystyle x_{K}=1-\sum \limits _{i=1}^{K-1}x_{i}\) <br>
-\(\displaystyle \lbrace {x_{1},\cdots ,x_{K}\rbrace }\) belongs to the standard simplex.
+\(\displaystyle \lbrace {x_{1},\cdots ,x_{K}\rbrace }\) belongs to the standard [[simplex]].
 The normalizing constant is the multivariate Beta function,

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 \(\operatorname {Dir} ({\boldsymbol {\alpha }})\) is a family of continuous multivariate probability distributions parameterized by a vector \(\boldsymbol {\alpha }\) of positive reals.
-\(\alpha\)가 vector가 아니면 \(\alpha_i\)가 모두 같다는 뜻인데, 이런건 symmetric Dirichlet distribution이라고 하고[https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution#Special_cases], 이 때 \(\alpha\)를 concentration parameter라고 한다. concentration parameter = 1이면, open standard K-1 simplex에서 uniform distribution이 되는데, 이를 '''flat Dirichlet distribution'''이라고 부른다. Values of the concentration parameter above 1 prefer variates that are dense, evenly distributed distributions, i.e. all the values within a single sample are similar to each other. Values of the concentration parameter '''below 1 prefer sparse distributions''', i.e. most of the values within a single sample will be close to 0, and the vast majority of the mass will be concentrated in a few of the values.
+\(\alpha\)가 vector가 아니면 \(\alpha_i\)가 모두 같다는 뜻인데, 이런건 '''symmetric Dirichlet distribution'''이라고 하고[https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution#Special_cases], 이 때 \(\alpha\)를 concentration parameter라고 한다. concentration parameter = 1이면, open standard K-1 simplex에서 uniform distribution이 되는데, 이를 '''flat Dirichlet distribution'''이라고 부른다. Values of the concentration parameter above 1 prefer variates that are dense, evenly distributed distributions, i.e. all the values within a single sample are similar to each other. Values of the concentration parameter '''below 1 prefer sparse distributions''', i.e. most of the values within a single sample will be close to 0, and the vast majority of the mass will be concentrated in a few of the values.
 probability density function \(f\),

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 \(\operatorname {Dir} ({\boldsymbol {\alpha }})\) is a family of continuous multivariate probability distributions parameterized by a vector \(\boldsymbol {\alpha }\) of positive reals.
-\(\alpha\)가 vector가 아니면 \(\alpha_i\)가 모두 같다는 뜻인데, 이런건 symmetric Dirichlet distribution이라고 하고[https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution#Special_cases], 이 때 \(\alpha\)를 concentration parameter라고 한다. concentration parameter = 1이면, open standard K-1 simplex에서 uniform distribution이 되는데, 이를 flat Dirichlet distribution이라고 부른다. Values of the concentration parameter above 1 prefer variates that are dense, evenly distributed distributions, i.e. all the values within a single sample are similar to each other. Values of the concentration parameter '''below 1 prefer sparse distributions''', i.e. most of the values within a single sample will be close to 0, and the vast majority of the mass will be concentrated in a few of the values.
+\(\alpha\)가 vector가 아니면 \(\alpha_i\)가 모두 같다는 뜻인데, 이런건 symmetric Dirichlet distribution이라고 하고[https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution#Special_cases], 이 때 \(\alpha\)를 concentration parameter라고 한다. concentration parameter = 1이면, open standard K-1 simplex에서 uniform distribution이 되는데, 이를 '''flat Dirichlet distribution'''이라고 부른다. Values of the concentration parameter above 1 prefer variates that are dense, evenly distributed distributions, i.e. all the values within a single sample are similar to each other. Values of the concentration parameter '''below 1 prefer sparse distributions''', i.e. most of the values within a single sample will be close to 0, and the vast majority of the mass will be concentrated in a few of the values.
 probability density function \(f\),

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 \(\displaystyle f\left(x_{1},\ldots ,x_{K-1};\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}\right)={\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1},\) where \(\displaystyle x_{K}=1-\sum \limits _{i=1}^{K-1}x_{i}\) <br>
 \(\displaystyle \lbrace {x_{1},\cdots ,x_{K}\rbrace }\) belongs to the standard simplex.
 Symmetric Dirichlet distribution의 경우,

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 \(\displaystyle f\left(x_{1},\ldots ,x_{K-1};\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}\right)={\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1},\) where \(\displaystyle x_{K}=1-\sum \limits _{i=1}^{K-1}x_{i}\) <br>
-\(\displaystyle \lbrace {x_{1},\cdots ,x_{K}\rbrace }\) belongs to the standard simplex. (확률분포로 쓸 수 있다는 얘기)
+\(\displaystyle \lbrace {x_{1},\cdots ,x_{K}\rbrace }\) belongs to the standard simplex.
 Symmetric Dirichlet distribution의 경우,

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	\(\alpha\)가 vector가 아니면 \(\alpha_i\)가 모두 같다는 뜻인데, 이런건 symmetric Dirichlet distribution이라고 하고[https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution#Special_cases], 이 때 \(\alpha\)를 concentration parameter라고 한다. concentration parameter = 1이면, open standard K-1 simplex에서 uniform distribution이 되는데, 이를 flat Dirichlet distribution이라고 부른다. Values of the concentration parameter above 1 prefer variates that are dense, evenly distributed distributions, i.e. all the values within a single sample are similar to each other. Values of the concentration parameter '''below 1 prefer sparse distributions''', i.e. most of the values within a single sample will be close to 0, and the vast majority of the mass will be concentrated in a few of the values.		\(\alpha\)가 vector가 아니면 \(\alpha_i\)가 모두 같다는 뜻인데, 이런건 symmetric Dirichlet distribution이라고 하고[https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution#Special_cases], 이 때 \(\alpha\)를 concentration parameter라고 한다. concentration parameter = 1이면, open standard K-1 simplex에서 uniform distribution이 되는데, 이를 flat Dirichlet distribution이라고 부른다. Values of the concentration parameter above 1 prefer variates that are dense, evenly distributed distributions, i.e. all the values within a single sample are similar to each other. Values of the concentration parameter '''below 1 prefer sparse distributions''', i.e. most of the values within a single sample will be close to 0, and the vast majority of the mass will be concentrated in a few of the values.

		+	probability density function \(f\),

	\(\displaystyle f\left(x_{1},\ldots ,x_{K-1};\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}\right)={\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1},\) where \(\displaystyle x_{K}=1-\sum \limits _{i=1}^{K-1}x_{i}\) <br>		\(\displaystyle f\left(x_{1},\ldots ,x_{K-1};\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}\right)={\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1},\) where \(\displaystyle x_{K}=1-\sum \limits _{i=1}^{K-1}x_{i}\) <br>

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	\(\operatorname {Dir} ({\boldsymbol {\alpha }})\) is a family of continuous multivariate probability distributions parameterized by a vector \(\boldsymbol {\alpha }\) of positive reals.		\(\operatorname {Dir} ({\boldsymbol {\alpha }})\) is a family of continuous multivariate probability distributions parameterized by a vector \(\boldsymbol {\alpha }\) of positive reals.

−	\(\alpha\)가 vector가 아니면 \(\alpha_i\)가 모두 같다는 뜻인데, 이런건 symmetric Dirichlet distribution이라고 하고[https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution#Special_cases], 이 때 \(\alpha\)를 concentration parameter라고 한다. concentration parameter = 1이면, open standard K-1 simplex에서 uniform distribution이 되는데, 이를 flat Dirichlet distribution이라고 부른다. \(\alpha < 1\) 이면 분포가 sparse하게 되는데, single sample의 대부분 value가 0이 된다는 얘기. 따라서 대부분의 mass가 몇 개의 value에 집중되게 된다.<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution#Special_cases 영문위키]의 설명에 따르면, <blockquote>Values of the concentration parameter above 1 prefer variates that are dense, evenly distributed distributions, i.e. all the values within a single sample are similar to each other. Values of the concentration parameter below 1 prefer sparse distributions, i.e. most of the values within a single sample will be close to 0, and the vast majority of the mass will be concentrated in a few of the values.~~</blockquote></ref>~~	+	\(\alpha\)가 vector가 아니면 \(\alpha_i\)가 모두 같다는 뜻인데, 이런건 symmetric Dirichlet distribution이라고 하고[https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution#Special_cases], 이 때 \(\alpha\)를 concentration parameter라고 한다. concentration parameter = 1이면, open standard K-1 simplex에서 uniform distribution이 되는데, 이를 flat Dirichlet distribution이라고 부른다. Values of the concentration parameter above 1 prefer variates that are dense, evenly distributed distributions, i.e. all the values within a single sample are similar to each other. Values of the concentration parameter '''below 1 prefer sparse distributions''', i.e. most of the values within a single sample will be close to 0, and the vast majority of the mass will be concentrated in a few of the values.

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 \(\operatorname {Dir} ({\boldsymbol {\alpha }})\) is a family of continuous multivariate probability distributions parameterized by a vector \(\boldsymbol {\alpha }\) of positive reals.
-\(\alpha\)가 vector가 아니면 \(\alpha_i\)가 모두 같다는 뜻인데, 이런건 symmetric Dirichlet distribution이라고 하고[https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution#Special_cases], 이 때 \(\alpha\)를 concentration parameter라고 한다. concentration parameter = 1이면, open standard K-1 simplex에서 uniform distribution이 되는데, 이를 flat Dirichlet distribution이라고 부른다.
+\(\alpha\)가 vector가 아니면 \(\alpha_i\)가 모두 같다는 뜻인데, 이런건 symmetric Dirichlet distribution이라고 하고[https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution#Special_cases], 이 때 \(\alpha\)를 concentration parameter라고 한다. concentration parameter = 1이면, open standard K-1 simplex에서 uniform distribution이 되는데, 이를 flat Dirichlet distribution이라고 부른다. \(\alpha < 1\) 이면 분포가 sparse하게 되는데, single sample의 대부분 value가 0이 된다는 얘기. 따라서 대부분의 mass가 몇 개의 value에 집중되게 된다.<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution#Special_cases 영문위키]의 설명에 따르면, <blockquote>Values of the concentration parameter above 1 prefer variates that are dense, evenly distributed distributions, i.e. all the values within a single sample are similar to each other. Values of the concentration parameter below 1 prefer sparse distributions, i.e. most of the values within a single sample will be close to 0, and the vast majority of the mass will be concentrated in a few of the values.</blockquote></ref>
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 then the following holds,<br>
 \({\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\mathbf {c} &=&\left(c_{1},\ldots ,c_{K}\right)&=&{\text{number of occurrences of category }}i\\\mathbf {p} \mid \mathbb {X} ,{\boldsymbol {\alpha }}&\sim &\operatorname {Dir} (K,\mathbf {c} +{\boldsymbol {\alpha }})&=&\operatorname {Dir} \left(K,c_{1}+\alpha _{1},\ldots ,c_{K}+\alpha _{K}\right)\end{array}}}\)

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−	~~[https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution wiki]~~