Gram matrix - 편집 역사

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새 문서: Gram matrix \( G = V^T V\) where \(V\) is a matrix.(for finite-dimensional vectors with the usual Euclidean dot product) [https://en.wikipedia.org/wiki/Gramian_matrix] Horn & Johnson...

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Gram matrix \( G = V^T V\) where \(V\) is a matrix.(for finite-dimensional vectors with the usual Euclidean dot product) [https://en.wikipedia.org/wiki/Gramian_matrix]

Horn & Johnson 2013<ref>Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). "7.2 Characterizations and Properties". Matrix Analysis (Second Edition). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83940-2.</ref>, p. 441<br />
Theorem 7.2.10 Let
\(\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}\) be vectors in an inner product space V with inner product \(\displaystyle \langle {\cdot ,\cdot }\rangle \) and let \(\displaystyle G=[\langle {v_{j},v_{i}}\rangle ]_{i,j=1}^{m}\in M_{m}\). Then <br />
(a) G is Hermitian and positive-semidefinite<br />
(b) G is positive-definite if and only if the vectors \(\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}\) are linearly-independent.<br />
(c) \(\displaystyle \operatorname {rank} G=\dim \operatorname {span} \{v_{1},\ldots ,v_{m}\}\)

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	(b) 는 \( x^TGx = x^TV^TVx = (Vx)^T(Vx) \ge 0 \) 로 하면 될것 같고, (c)는 \(x^TGx =0\)인 상황에서 \(V\)가 nonsingular하면 모순임을 이용하면 될 것 같다.		(b) 는 \( x^TGx = x^TV^TVx = (Vx)^T(Vx) \ge 0 \) 로 하면 될것 같고, (c)는 \(x^TGx =0\)인 상황에서 \(V\)가 nonsingular하면 모순임을 이용하면 될 것 같다.
		+
		+
		+	Gram determinant는 [https://en.wikipedia.org/wiki/Gramian_matrix#Gram_determinant 위키] 참조. <br />
		+	(주요 내용은 1) volume of perelloptope 2) exterior product : \(G(x_{1},\dots ,x_{n})=\\|x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n}\\|^{2}\). )

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−	(b) 는 \( x^TGx = x^TV^TVx = (Vx)^T(Vx) \ge 0 \) 로 하면 될것 같고, (c)는 \(x^TGx =0\)인 상황에서 \(V\)가 ~~singular하지 않으면~~ 모순임을 이용하면 될 것 같다.	+	(b) 는 \( x^TGx = x^TV^TVx = (Vx)^T(Vx) \ge 0 \) 로 하면 될것 같고, (c)는 \(x^TGx =0\)인 상황에서 \(V\)가 nonsingular하면 모순임을 이용하면 될 것 같다.

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	(b) G is [[positive definite\|positive-definite]] if and only if the vectors \(\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}\) are linearly-independent.<br />		(b) G is [[positive definite\|positive-definite]] if and only if the vectors \(\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}\) are linearly-independent.<br />
	(c) \(\displaystyle \operatorname {rank} G=\dim \operatorname {span} \{v_{1},\ldots ,v_{m}\}\)		(c) \(\displaystyle \operatorname {rank} G=\dim \operatorname {span} \{v_{1},\ldots ,v_{m}\}\)
		+
		+
		+	(b) 는 \( x^TGx = x^TV^TVx = (Vx)^T(Vx) \ge 0 \) 로 하면 될것 같고, (c)는 \(x^TGx =0\)인 상황에서 \(V\)가 singular하지 않으면 모순임을 이용하면 될 것 같다.
		+
		+	----

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 Theorem 7.2.10 Let
 \(\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}\) be vectors in an inner product space V with inner product \(\displaystyle \langle {\cdot ,\cdot }\rangle \) and let \(\displaystyle G=[\langle {v_{j},v_{i}}\rangle ]_{i,j=1}^{m}\in M_{m}\). Then <br />
-(a) G is [[Hermitian Matrix|Hermitian]] and positive-semidefinite<br />
+(a) G is [[Hermitian Matrix|Hermitian]] and [[positive definite|positive-semidefinite]]<br />
-(b) G is positive-definite if and only if the vectors \(\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}\) are linearly-independent.<br />
+(b) G is [[positive definite|positive-definite]] if and only if the vectors \(\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}\) are linearly-independent.<br />
 (c) \(\displaystyle \operatorname {rank} G=\dim \operatorname {span} \{v_{1},\ldots ,v_{m}\}\)

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 Gram matrix \( G = V^T V\) where \(V\) is a matrix.(for finite-dimensional vectors with the usual Euclidean dot product) [https://en.wikipedia.org/wiki/Gramian_matrix]
-Horn & Johnson 2013<ref>Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). "7.2 Characterizations and Properties". Matrix Analysis (Second Edition). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83940-2.</ref>, p. 441<br />
+Horn & Johnson 2013<ref>Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). "7.2 Characterizations and Properties". Matrix Analysis (Second Edition). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83940-2.</ref>, p. 441<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Gramian_matrix#cite_note-1</ref><br />
 Theorem 7.2.10 Let
 \(\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}\) be vectors in an inner product space V with inner product \(\displaystyle \langle {\cdot ,\cdot }\rangle \) and let \(\displaystyle G=[\langle {v_{j},v_{i}}\rangle ]_{i,j=1}^{m}\in M_{m}\). Then <br />