Poisson distribution - 편집 역사

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정의

2017년 6월 21일 (수) 03:36에 Admin님의 편집

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새 문서: 일단 또 위키[https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution] binomial distribution에서 \(\displaystyle p=\frac{\lambda}{n}\)이고, 시행횟수 \(n\)이 매우 크면 어...

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일단 또 위키[https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution]

binomial distribution에서 \(\displaystyle p=\frac{\lambda}{n}\)이고, 시행횟수 \(n\)이 매우 크면 어떤일이 생기나. 
아무일도 안일어난다... 그냥 \(\lambda\)만큼의 사건이 벌어지겠지 -_- 
\(n \rightarrow \infty\)보내버리고, \(\lambda\)만 가지고 확률을 설명하자면 어떻게 해야 하나. <del>굳이 이렇게 해야 하나</del> 
Poisson distribution은 이걸 어떻게 설명하냐면, 
<blockquote>The Poisson distribution can be applied to systems with a large number of possible events, each of which is rare. How many such events will occur during a fixed time interval? Under the right circumstances, this is a random number with a Poisson distribution.</blockquote>
‘일정 간격에 \(\lambda\)만큼 발생하는 사건이 있을 때, 그 간격에 발생할 사건의 수(\(k\))의 분포’. 
직관적으로 \(k=\lambda\)일 때 확률이 가장 높을 것이다.

 어떤 간격에서 기댓값이 \(\lambda\)라는 사실만으로 그 단위간격(unit)에서 발생할 event의 pmf가 유일하게 정해지는지 궁금하다. 이런건 어디다 물어봐야 하는거지. binomial에서 나오는 것이므로 왠지 유일할것도 같은데, 아리송하다.

binomial에서 나오는 과정은 ‘The Connection Between the Poisson and Binomial Distributions’[http://www.oxfordmathcenter.com/drupal7/node/297]에 자세히 있다. 멋지다. 
옮기자면, \(\displaystyle P(x)={}_nC_x p^x q^{n-x} , p=\frac{\lambda}{n} , q = 1-p \)이므로,

\(\displaystyle P(x) = {}_nC_x \left( \frac{\lambda}{n} \right)^x \left( 1-\frac{\lambda}{n} \right)^{n-x}\) 

\(\displaystyle P(x) = \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-x+1)}{x!} \cdot \frac{\lambda^x}{n^x} \left( 1 - \frac{\lambda}{n} \right)^{n-x} \)

\(\displaystyle P(x) = \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdots \frac{n-x+1}{n} \cdot \frac{\lambda^x}{x!}\left( 1 - \frac{\lambda}{n} \right)^n \left( 1 - \frac{\lambda}{n} \right)^{-x} \)

\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} P(x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} = P(x{\text{ events in interval}})\)

===정의===
A discrete random variable \(X\) is said to have a Poisson distribution with parameter \(λ > 0\), if, for \(k = 0, 1, 2, \cdots\), the probability mass function of \(X\) is given by:

\(\displaystyle \!f(k;\lambda )=\Pr(X=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}\),

\(\displaystyle \lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X)\).

\(\lambda^k\)와 \(k!\)가 매우 크고, 상대적으로 \(e^{-\lambda}\)는 작아서 numerically stable한 다음 식을 더 많이 쓴다고 한다.
\(\displaystyle \!f(k;\lambda )=\exp \left\{{k\ln \lambda -\lambda -\ln \Gamma (k+1)}\right\}\)

gamma function은 C의 {{c|lgamma}}등 지원하는 언어들이 몇 있다고.

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 binomial distribution에서 \(\displaystyle p=\frac{\lambda}{n}\)이고, 시행횟수 \(n\)이 매우 크면 어떤일이 생기나. <br>
 아무일도 안일어난다... 그냥 \(\lambda\)만큼의 사건이 벌어지겠지 -_-<br>
-\(n \rightarrow \infty\)보내버리고, \(\lambda\)만 가지고 확률을 설명하자면 어떻게 해야 하나. <del>굳이 이렇게 해야 하나</del><br>
+\(n \rightarrow \infty\)보내버리고, \(\lambda\)만 가지고 분포를 얻어내자면 어떻게 해야 하나. <del>굳이 이렇게 해야 하나</del><br>
 Poisson distribution은 이걸 어떻게 설명하냐면,<br>
 <blockquote>The Poisson distribution can be applied to systems with a large number of possible events, each of which is rare. How many such events will occur during a fixed time interval? Under the right circumstances, this is a random number with a Poisson distribution.</blockquote>

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	gamma function은 C의 {{c\|lgamma}}등 지원하는 언어들이 몇 있다고.		gamma function은 C의 {{c\|lgamma}}등 지원하는 언어들이 몇 있다고.
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	\(\displaystyle \lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X)\).		\(\displaystyle \lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X)\).
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	\(\lambda^k\)와 \(k!\)가 매우 크고, 상대적으로 \(e^{-\lambda}\)는 작아서 numerically stable한 다음 식을 더 많이 쓴다고 한다.		\(\lambda^k\)와 \(k!\)가 매우 크고, 상대적으로 \(e^{-\lambda}\)는 작아서 numerically stable한 다음 식을 더 많이 쓴다고 한다.