0823 proof

수열 $(1+\frac{1}{n})^n$의 최댓값($e$) 생각하다가 이게 단조증가인가 궁금해서 찾아봤는데 여기의 답글중에 좋은게 있어서 퍼둠.

$$\frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^n}=\left(1+\frac1n\right)\,\color{ indianred}{\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\ge} \left(1+\frac1n\right)\,\color{ indianred}{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)}=1$$

더불어, 위 식은 $n \to 0$일 때 $1$인데, 이유는 다음과 같다.

$$\frac{\overbrace{1 + 1 + \cdots + 1}^{x-2 \,\text{times}}+ \sqrt{1+x} + \sqrt{1+x}}{x} \ge (1 + x)^\frac1x \ge 1 \\ \underbrace{ 1 - \frac{2}x + \frac{2\sqrt{1+x}}x}_{(1)} \ge (1 + x)^\frac1x \ge 1$$ when $x$ goes to $\infty$, eq (1) goes to $1$. □