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\(\displaystyle x\in [0,1] \)일 때, (support<ref>\(\operatorname {supp} (f)=\{x\in X\,|\,f(x)\neq 0\}\) [https://en.wikipedia.org/wiki/Support_(mathematics)#Formulation]</ref>가 이렇게 주어지기 때문에, 확률분포로 쓸 수 있다.) | \(\displaystyle x\in [0,1] \)일 때, (support<ref>\(\operatorname {supp} (f)=\{x\in X\,|\,f(x)\neq 0\}\) [https://en.wikipedia.org/wiki/Support_(mathematics)#Formulation]</ref>가 이렇게 주어지기 때문에, 확률분포로 쓸 수 있다.) | ||
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\(\Large \text{Beta}(\alpha, \beta) = f(x; \alpha, \beta) = \text{contant}\cdot x^{\alpha -1 }(1-x)^{\beta -1} \) | \(\Large \text{Beta}(\alpha, \beta) = f(x; \alpha, \beta) = \text{contant}\cdot x^{\alpha -1 }(1-x)^{\beta -1} \) | ||
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hyperparameter \(\alpha, \beta\)를 주었을 때 위의 pdf를 가지는 분포가 beta분포. | hyperparameter \(\alpha, \beta\)를 주었을 때 위의 pdf를 가지는 분포가 beta분포. | ||
| − | conjugate prior probability distribution for the | + | conjugate prior<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_prior</ref> probability distribution for the |
* Bernoulli, | * Bernoulli, | ||
* binomial, | * binomial, | ||
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| − | shapes | + | ===shapes=== |
| + | [https://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution#Shapes 위키]에 그림이 많은데 정말 다 주옥같다. 구경하기도 좋고 ㅎㅎ 이거 누가 gif animation으로 만들어주면 좋겠음 ㅎㅎㅎ | ||
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* \(\alpha = \beta\) | * \(\alpha = \beta\) | ||
** \(\alpha = \beta < 1 \)<br>U-shaped. (\(\alpha \neq \beta\)일 때도 \(\alpha < 1, \beta < 1\)이면 U-shaped) | ** \(\alpha = \beta < 1 \)<br>U-shaped. (\(\alpha \neq \beta\)일 때도 \(\alpha < 1, \beta < 1\)이면 U-shaped) | ||
** \(\alpha = \beta = 1 \)<br>uniform [0,1] distribution | ** \(\alpha = \beta = 1 \)<br>uniform [0,1] distribution | ||
| − | ** \(\alpha = \beta > 1 \)<br>unimodal | + | ** \(\alpha = \beta > 1 \)<br>unimodal<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Unimodality</ref> |
*** \(\alpha = \beta = 2 \)<br>parabolic | *** \(\alpha = \beta = 2 \)<br>parabolic | ||
*** \(\alpha = \beta > 2 \)<br>bell shaped | *** \(\alpha = \beta > 2 \)<br>bell shaped | ||
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*** \( \beta = 2 \)<br>straight line with slope -2 | *** \( \beta = 2 \)<br>straight line with slope -2 | ||
*** \(2 < \beta \)<br>convex | *** \(2 < \beta \)<br>convex | ||
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2017년 12월 12일 (화) 14:30 기준 최신판
\(\displaystyle x\in [0,1] \)일 때, (support[1]가 이렇게 주어지기 때문에, 확률분포로 쓸 수 있다.)
\(\Large \text{Beta}(\alpha, \beta) = f(x; \alpha, \beta) = \text{contant}\cdot x^{\alpha -1 }(1-x)^{\beta -1} \)
\(\Large = \frac{1}{\text{B}(\alpha, \beta)} x^{\alpha -1 }(1-x)^{\beta -1} \)
B is beta function. (여기서는 normalizer역할)
hyperparameter \(\alpha, \beta\)를 주었을 때 위의 pdf를 가지는 분포가 beta분포.
conjugate prior[2] probability distribution for the
- Bernoulli,
- binomial,
- negative binomial,
- geometric distributions.
shapes
위키에 그림이 많은데 정말 다 주옥같다. 구경하기도 좋고 ㅎㅎ 이거 누가 gif animation으로 만들어주면 좋겠음 ㅎㅎㅎ
- \(\alpha = \beta\)
- \(\alpha = \beta < 1 \)
U-shaped. (\(\alpha \neq \beta\)일 때도 \(\alpha < 1, \beta < 1\)이면 U-shaped) - \(\alpha = \beta = 1 \)
uniform [0,1] distribution - \(\alpha = \beta > 1 \)
unimodal[3]- \(\alpha = \beta = 2 \)
parabolic - \(\alpha = \beta > 2 \)
bell shaped
- \(\alpha = \beta = 2 \)
- \(\alpha = \beta < 1 \)
- \(\alpha \neq \beta\)
- \(\alpha = 1, \beta > 1\)
positively skewed.(right tail is long), strictly decreasing.- \(1 < \beta < 2\)
concave - \( \beta = 2 \)
straight line with slope -2 - \(2 < \beta \)
convex
- \(1 < \beta < 2\)
- \(\alpha = 1, \beta > 1\)
- ↑ \(\operatorname {supp} (f)=\{x\in X\,|\,f(x)\neq 0\}\) [1]
- ↑ https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_prior
- ↑ https://en.wikipedia.org/wiki/Unimodality