Simplex

formal한 정의[1]는,

Suppose the k + 1 points \( {\displaystyle u_{0},\dots ,u_{k}\in \mathbb {R} ^{k}} \)are affinely independent, which means \( u_{1}-u_{0},\dots ,u_{k}-u_{0}\) are linearly independent. Then, the simplex determined by them is the set of points $$ {\displaystyle C=\left\{\theta _{0}u_{0}+\dots +\theta _{k}u_{k}~{\bigg |}~\sum _{i=0}^{k}\theta _{i}=1{\mbox{ and }}\theta _{i}\geq 0{\mbox{ for all }}i\right\}} $$

“k-dimensional polytope which is the convex hull of its k + 1 vertices.” 로 정의되기도 한다.

간단히는, k-simplex라 하면 k차원의 삼각형이다. 2-simplex는 그냥 삼각형, 3차원이라면 사면체, 4차원이라면 5-cell등이 된다.
0-simplex는 point, 1-simplex는 line segment다.

simplex도 polytope이므로, element로 구성된다. 예를들어, 사면체는 점 4개, 선 6개, 면 4개로 구성되는데, 이걸 다르게 표현하면,
“3-simplex의 element중 0-faces(vertices)는 4개, 1-faces(edges)는 6개, 2-faces는 4개로 구성된다”고 할 수 있다.[2]

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