2017년 8월 21일 (월) 16:39 판

The important concepts of convergence, consistency, and stability are presented and shown to be related by the Lax-Richtmyer equivalence theorem. The chapter concludes with a discussion of the Courant-Friedrichs-Lewy condition and related topics.

1.1 Overview of Hyperbolic Partial Differential Equations

The One-Way WaveEquation

$u_t + au_x = 0 \label{1.1.1}\tag{1.1.1}$ solution: (대입해보면 자명한 것이므로, 그냥 외워야 함)

$u(t,x) = u_0 ( x - at) \tag{1.1.2}$

$(t,x)$ plane에서

$x-at$ 가 상수로 유지되는 라인을 characteristics라고 부른다.

$a$ 는 the speed of propagation along the characteristic.

One-way wave eq.1.1.1의 solution 1.1.2는 형태의 변형 없이 speed $a$ 로 진행하는 wave이다.

1.1.2는 미분가능성을 요하지 않는다.

$u_t + au_x + bu = f(t, x),\\u(0, x) = u_0(x), \tag{1.1.3}$

$u(t,x) = u_0(x-at)e^{-bt} + \int_0^t f(s, x-a(t-s))e^{-b(t-s)} ds. \tag{1.1.4}$

$u_t + au_x = f(t,x,u) \tag{1.1.5}$

Systems of Hyperbolic Equations

Definition 1.1.1. 아래와 같은 form은

$u_t + Au_x + Bu = F(t, x) \tag{1.1.6}$

$A$ 가 (real eigenvalue들로) diagonalizable하면 hyperbolic 이다.

$PAP^{-1} = \left( \begin{matrix} a_1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & a_d \end{matrix} \right)=\Lambda$ , $w= Pu$ 라 하면, $B=0$ 일 때 $w_t + \Lambda w_x = PF(t,x) = \hat{F}(t,x)$ 이고, $\Lambda$ 가 diagonal이므로 1.1.1꼴의 식들을 얻는다. 따라서 solution도 1.1.2로 얻는다. $B \ne 0$ 일 때도, 미분되지 않은 term들만 coupled되고, propagation에는 영향이 없다. $Bu$ 는 growth, decay, oscillation에 영향을 준다.

Example 1.1.1

Consider a system

$u_t + 2u_x + v_x = 0, \\ v_t + u_x + 2v_x = 0,$ 두 식을 더하고 빼면

$(u+v)_t + 3(u+v)_x = 0, \\(u-v)_t + (u-v)_x = 0$ 을 얻고, 이때

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ 이다. 이

$P$ 자체가 더하고 뺀다는 뜻이다. 문제는 ‘더하고 빼면 된다’는 것, 즉

$P$ 를 어떻게 찾느냐하는 것.^[1] $u+v = w', u-v = w$라고 할 때, 해는 $$ w'(t,x) = w'_0(x-3t), \\ w(t,x) = w_0(x-t) $$

$\because P\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} P^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$

Equations with Variable Coefficients

$u_t + a(t,x)u_x = 0 \tag{1.1.7}$

$\frac{d\tilde{u}}{dτ} = 0, \quad \tilde{u}(0, ξ) = u_0(ξ), \\ \frac{dx}{dτ} = a(τ, x), \quad x(0) = ξ. \tag{1.1.8}$ ^[2]

Example 1.1.2

$u_t + xu_x = 0, \\ u(0, x) = \begin{cases} 1 \quad \text{if}\ 0 \le x \le 1, \\ 0 \quad \text{otherwise.} \end{cases}$ 1.1.8에 따라

$\frac{d\tilde{u}}{dτ} = 0, \quad \frac{dx}{dτ} = x, \quad x(0) = ξ.$

↑ How to diagonalize a matrix 그냥 eigenvector를 column vector로 하는 P를 만들면 된다. eigenvector의 순서는 상관없음. 따라서 full rank여야 한다.
↑ $u(t, x)$ 와 $\hat{u}(τ, ξ)$ 는 같은 것이다. 식 (1.1.7)의 양변을 $τ$ 에 관해 미분하면 두번째 항이 상수항으로 없어지기 때문에 $\frac{\partial \hat{u}}{\partial τ} = 0$ 이다.

[1] How to diagonalize a matrix 그냥 eigenvector를 column vector로 하는 P를 만들면 된다. eigenvector의 순서는 상관없음. 따라서 full rank여야 한다.

[1.1.8-2] $u(t, x)$ 와 $\hat{u}(τ, ξ)$ 는 같은 것이다. 식 (1.1.7)의 양변을 $τ$ 에 관해 미분하면 두번째 항이 상수항으로 없어지기 때문에 $\frac{\partial \hat{u}}{\partial τ} = 0$ 이다.

[1]

[2]

@@ 36번째 줄: / 36번째 줄: @@
  $u_t + a(t,x)u_x = 0 \tag{1.1.7}$
 $$ \frac{d\tilde{u}}{dτ} = 0, \quad \tilde{u}(0, ξ) = u_0(ξ), \\
-\frac{dx}{dτ} = a(τ, x), \quad x(0) = ξ. \tag{1.1.8}$$
+\frac{dx}{dτ} = a(τ, x), \quad x(0) = ξ. \tag{1.1.8}$$<ref name=1.1.8>  $u(t, x)$ 와  $\hat{u}(τ, ξ)$ 는 같은 것이다. 식 (1.1.7)의 양변을  $τ$ 에 관해 미분하면 두번째 항이 상수항으로 없어지기 때문에  $\frac{\partial \hat{u}}{\partial τ} = 0$ 이다. </ref>
 <b>Example 1.1.2</b>
-$$u_t = xu_x = 0, \\ u(0, x) =  $\begin{cases} 1 \quad \text{if}\ 0 \le x \le 1, \\ 0 \quad \text{otherwise.} \end{cases}$ $$
+$$u_t + xu_x = 0, \\ u(0, x) =  $\begin{cases} 1 \quad \text{if}\ 0 \le x \le 1, \\ 0 \quad \text{otherwise.} \end{cases}$ $$
 .1.8에 따라
  $\frac{d\tilde{u}}{dτ} = 0, \quad \frac{dx}{dτ} = x, \quad x(0) = ξ.$

둘러보기 메뉴

"1.1 Overview of Hyperbolic Partial Differential Equations"의 두 판 사이의 차이

2017년 8월 21일 (월) 16:39 판

1.1 Overview of Hyperbolic Partial Differential Equations

The One-Way WaveEquation

Systems of Hyperbolic Equations

Equations with Variable Coefficients

목차to top