"0823 proof"의 두 판 사이의 차이
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| − | 수열 \((1+\frac{1}{n})^n\)의 | + | 수열 \((1+\frac{1}{n})^n\)의 최댓값(\(e\)) 생각하다가 이게 단조증가인가 궁금해서 찾아봤는데 [https://math.stackexchange.com/a/167869/64186 여기]의 답글중에 좋은게 있어서 퍼둠. |
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2018년 2월 5일 (월) 22:54 기준 최신판
수열 \((1+\frac{1}{n})^n\)의 최댓값(\(e\)) 생각하다가 이게 단조증가인가 궁금해서 찾아봤는데 여기의 답글중에 좋은게 있어서 퍼둠.
$$ \frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^n}=\left(1+\frac1n\right)\,\color{ indianred}{\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\ge} \left(1+\frac1n\right)\,\color{ indianred}{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)}=1 $$
더불어, 위 식은 \(n \to 0\)일 때 \(1\)인데, 이유는 다음과 같다. $$ \frac{\overbrace{1 + 1 + \cdots + 1}^{x-2 \,\text{times}}+ \sqrt{1+x} + \sqrt{1+x}}{x} \ge (1 + x)^\frac1x \ge 1 \\ \underbrace{ 1 - \frac{2}x + \frac{2\sqrt{1+x}}x}_{(1)} \ge (1 + x)^\frac1x \ge 1 $$ when \(x\) goes to \(\infty\), eq (1) goes to \(1\). □