1204 ambitious numbers

ambitious numbers[1]

1, 2, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000, 1250, 2000, 2500, 5000, 10000, 12500, 20000, 25000, 50000, 100000, 125000, 200000, 250000, 500000, 1000000, 1250000, 2000000, 2500000, 5000000, 10000000, 12500000, 20000000, 25000000

Number whose \(10\)'s complement is a multiple of it. 125 is a member as its 10's complement is \(1000-125 = 875= 125\times 7 \) - Amarnath Murthy, Mar 08 2002

 쉽게 말하자면, 앞에 뭘 붙여도 자신으로 나누어지는 수. 예를 들어, 2는 앞에 그 어떤 수를 붙여도(1, 3, 992834를 붙이면, 12, 32, 9928342, etc) 모두 2로 나누어진다. 따라서 2는 ambitious number.

웹에서 증명같은걸 찾아보니 좋은[2]설명이 있다. \(x\cdot 10^k + n \) (\(k\) 는 \(n\)의 자릿수)에서 임의의 \(x\)에 대해 \(n\)으로 나누어져야 하므로, 결국 \(10^k\)가 \(n\)으로 나누어져야 한다는 이야기. 여기서 \(k\)가 \(n\)의 자릿수이므로 \(10^{k-1} \le n \lt 10^k \) 이고, 따라서 \(10^k\)를 한자리 숫자로 나누어서 \(n\)을 얻을 수 있으면 된다. \(10^k\)를 나눌 수 있는 한자리 수는 \(1, 2, 4, 5, 8\)밖에 없으므로 자명한 \(1\)을 제외하고 숫자 네개(\(2, 4, 5, 8\))씩만 \(10^k\) (\(k = 1, 2, 3, \cdots\))에 대해 검사해보면 \(n\)의 최댓값이 수백자리라고 해도 모두 알아내는 데 얼마 걸리지 않는다. 위 oeis[1]의 설명에 나오듯이 \(10^k\)의 compliment를 자신이 나누는 것도 이와 본질적으로 동일한 성질에 기인한다.


[1] https://oeis.org/A039690
[2] https://math.stackexchange.com/a/1949314/64186