1003 아주 짧게 소개하는 수학

Timothy Gowers (지은이), 박기현 (옮긴이) | 교우사(교재) | 2013-03-02

얼마전에 읽은 ‘수학이 필요한 순간’보다 훨씬 더 좋은 책이다.

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이러한 반대 의견에 ― 그 중 일부는 분명히 다른 것들보다 더 심각한데 ― 비추어 볼 때, 계산과 거기서 나오는 예측에 대해 어떤 태도를 취해야 할까? 한 가지 접근법은 가능한 많은 반대 의견을 고려하는 것일 수 있겠다. 그러나 훨씬 더 합리적인 대책은 정반대이다. 즉 어느 수준의 정밀도가 필요한지 정한 다음 가능하면 단순하게 이에 맞추는 것이다. 어떤 단순화 가정이 답에 끼치는 영향이 아주 작다는 것을 경험으로 안다면, 그 가정을 받아들이는 것이 낫다.

20~21

체스에서 흑의 왕은 무엇인가? 이 별난 질문에 대처하는 가장 적합한 방법은 약간 옆으로 피하는 것인 듯 하다. 사람들이 대체로 그러듯 체스판을 가리고 게임의 규칙을 흑의 왕에게 특히 주의를 기울여 설명하는 이상 더 무엇을 할 수 있는가? 흑의 왕에 있어 중요한 것은 그것의 존재 또는 그 내재적 본질이 아니라 게임에서 하는 역할이다.

수학에서 종종 말하는 추상적 방법은 수학적 대상에 이러한 태도를 취할 때 생겨나는 것이다. 이러한 태도는 다음 슬로건으로 요약할 수 있다. 수학적 대상은 곧 그것의 역할이다. 비슷한 슬로건이 언어철학에도 여러 번 출현했으며, 이런 슬로건은 논쟁거리가 될 수 있다. 예를 들어 소쉬르(Ferdinand de Saussure)는 ‘언어에는 단지 차이만 있다’라고 하였고 비트겐슈타인(Ludwig Wittgenstein)은 ‘단어의 의미는 언어에서 그의 용법이다’라고 하였다(추가 참고 도서를 참조하라). 또 논리 실증주의자들의 구호인 ‘한 명제의 의미는 그것의 검증방법이다’도 있다. 철학적 이유로 내 말이 탐탁지 않다면, 내 말을 독단적 선언으로 간주하기보다는 경우에 따라 취할 수 있는 태도라고 생각하길 바란다. 사실은, 내가 보이고자 하는 것처럼, 고등 수학을 제대로 이해하기 위해서는 이를 받아들일 수 있는 것이 중요하다.

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그 개념들을 구체화하여 이해하려고 하면 수수께끼 같이 느껴지겠지만, 그것들이 무엇인가를 알려고 고민하지 말고 느긋하게 추상적인 방법을 사용하면 그것들은 더 이상 불가사의하지 않게 된다.

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다시 한번 우리는 무한을 포함하는 명제는 근사에 관한 더 복잡한 명제를 표현하는 편리한 방식이라고 간주하고 있다. 더 시사하는 바가 많을 수도 있는 또 다른 단어로 ‘극한’이 있다. 무한 소수는 유한 소수 수열의 극한이고, 순간 속도는 점점 더 짧은 시간 동안 움직인 거리를 재어 계산한 근사치의 극한이다. 수학자들은 종종 ‘극한에’ 또는 ‘무한에’ 무엇이 벌어지는지 말하지만, 그들은 스스로 하는 일을 잘 알고 있어서 그들이 말 그대로를 의미하는 것은 아니다. 수학자들에게 의미하는 바를 정확하게 말하라고 하면 수학자들은 대신 근사에 관하여 말하기 시작할 것이다.

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넓이에 관해 다른 식으로, 어쩌면 더 명확하게, 말할 수도 있다. 만일 경계가 곡선인 도형이 정확하게 넓이가 12 제곱센티미터이고, 내가 이를 정사각형 격자를 이용하여 보여야 한다면 나로서는 불가능하 다 ― 무한히 많은 정사각형이 필요할 것이다. 그러나 만일 12가 아닌 예를 들어 11.9를 나에게 제의한다면 정사각형 격자를 이용하여 그 도형의 넓이가 그 수가 아니라고 단정적으로 증명할 수 있다. 남은 넓이가 0.1 제곱센티미터보다 작을 정도로 충분히 세밀한 격자를 택하기만 하면 된다. 다른 말로 하면 넓이가 12라는 것을 증명하는 대신에 넓이가 12 외의 어느 것도 아니라는 것을 증명하는 것이라면

무한을 사용하지 않고도 할 수 있다. 도형의 넓이는 아니라고 증명할 수 없는 단 하나의 수이다.