Poisson distribution
일단 또 위키[1]
binomial distribution에서 \(\displaystyle p=\frac{\lambda}{n}\)이고, 시행횟수 \(n\)이 매우 크면 어떤일이 생기나.
아무일도 안일어난다... 그냥 \(\lambda\)만큼의 사건이 벌어지겠지 -_-
\(n \rightarrow \infty\)보내버리고, \(\lambda\)만 가지고 분포를 얻어내자면 어떻게 해야 하나. 굳이 이렇게 해야 하나
Poisson distribution은 이걸 어떻게 설명하냐면,
The Poisson distribution can be applied to systems with a large number of possible events, each of which is rare. How many such events will occur during a fixed time interval? Under the right circumstances, this is a random number with a Poisson distribution.
‘일정 간격에 \(\lambda\)만큼 발생하는 사건이 있을 때, 그 간격에 발생할 사건의 수(\(k\))의 분포’.
직관적으로 \(k=\lambda\)일 때 확률이 가장 높을 것이다.
어떤 간격에서 기댓값이 \(\lambda\)라는 사실만으로 그 단위간격(unit)에서 발생할 event의 pmf가 유일하게 정해지는지 궁금하다. 이런건 어디다 물어봐야 하는거지. binomial에서 나오는 것이므로 왠지 유일할것도 같은데, 아리송하다.
binomial에서 나오는 과정은 ‘The Connection Between the Poisson and Binomial Distributions’[2]에 자세히 있다. 멋지다.
옮기자면, \(\displaystyle P(x)={}_nC_x p^x q^{n-x} , p=\frac{\lambda}{n} , q = 1-p \)이므로,
\(\displaystyle P(x) = {}_nC_x \left( \frac{\lambda}{n} \right)^x \left( 1-\frac{\lambda}{n} \right)^{n-x}\)
\(\displaystyle P(x) = \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-x+1)}{x!} \cdot \frac{\lambda^x}{n^x} \left( 1 - \frac{\lambda}{n} \right)^{n-x} \)
\(\displaystyle P(x) = \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdots \frac{n-x+1}{n} \cdot \frac{\lambda^x}{x!}\left( 1 - \frac{\lambda}{n} \right)^n \left( 1 - \frac{\lambda}{n} \right)^{-x} \)
\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} P(x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} = P(x{\text{ events in interval}})\)
정의
A discrete random variable \(X\) is said to have a Poisson distribution with parameter \(λ > 0\), if, for \(k = 0, 1, 2, \cdots\), the probability mass function of \(X\) is given by:
\(\displaystyle \!f(k;\lambda )=\Pr(X=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}\),
\(\displaystyle \lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X)\).
\(\lambda^k\)와 \(k!\)가 매우 크고, 상대적으로 \(e^{-\lambda}\)는 작아서 numerically stable한 다음 식을 더 많이 쓴다고 한다.
\(\displaystyle \!f(k;\lambda )=\exp \left\{{k\ln \lambda -\lambda -\ln \Gamma (k+1)}\right\}\)
gamma function은 C의 lgamma등 지원하는 언어들이 몇 있다고.