1.2 Boundary Conditions

$$ u_t + au_x = 0 \quad \text{with} \quad 0 \le x \le 1, t \ge 0. \tag{1.2.1} $$ i.c: \(u(0,x) = u_0(x)\), b.c: \(u(t, 0) = g(t)\), then the solution is given by $$ u(t, x ) = \begin{cases} u_0(x - at) & \text{if } x - at > 0, \\ g(t - a^{-1}x) & \text{if } x - at < 0 . \end{cases}$$

Hyperbolic system이 다음과 같을 때, $$\pmatrix{u1 \\ u2 }_t + \pmatrix{a & b \\ b & a } \pmatrix{u1 \\ u2 }_x = 0$$ eigenvalue는 \( a+b, a-b\). 다음으로 변형해서 문제를 풀 수 있다. $$ \pmatrix{ u1 + u2 \\ u1 - u2 }_t + \pmatrix{ a+b & 0 \\ 0 & a-b }\pmatrix{u1 + u2 \\ u1 - u2 }_x = 0 $$ \(u1+u2 @ x=0, u1-u2 @ x=1\)를 정하면 답이 유일하게 정해지지만 다음과 같은 형태여도 된다. $$ u1 + u2 = α_0(u1 - u2) + β_0(t) \quad @ x = 0, \\ u1 - u2 = α_1(u1 + u2) + β_1(t) \quad @ x = 1, \tag{1.2.4} $$ 위 형태로 변형 가능할때만 well-posed이다. \(0 < a < b \)일 때, (\(1.2.4\))의 \(x\)의 위치(\(0\) 혹은 \(1\))가 바뀌면 안된다. 아래 그림에서 보듯 characteristic의 방향이 반대이기 때문이다.

Example 1.2.1

$$\pmatrix{ u1 \\ u2}_t + \pmatrix{\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} &\frac{1}{2} }\pmatrix{u1 \\ u2 }_x = 0 \tag{1.2.5}$$ on the interval [0, 1] with i.c: \(u1(0, x) = 0\) and \(u2(0, x) = x\).

1.2.5의 eigenvalue가 \(2, -1\)이므로 양쪽 끝에서 bc가 주어져야 한다. 다음으로 정함. $$ u1(t, 0) = t \quad u2(t,1) = 0$$